Зак Ю.А."Прикладные задачи многокритериальной оптимизации"

Введение

           Проблема многокритериальной оптимизации заключается  в поиске некоторой альтернативы или вектора входных и управляющих переменных, удовлетворяющих системе установленных ограничений и оптимизирующего некоторое множество целевых функций. С подобными проблемами  мы сталкиваемся практически во всех областях науки, техники и экономики. Рассматриваемые локальные целевые функции могут быть зависимыми и независимыми и, как правило, взаимно конфликтуют.  Требуется найти наиболее эффективное решение, при котором значения целевых функций были бы приемлемыми для лица, принимающего решение, или для группы экспертов. Эффективное решение многоэкстремальных задач невозможно без учета предпочтений лица, принимающего решение. Для выбора наилучшего варианта решения необходим некоторый компромисс между оценками по различным критериям.  Реальные практические задачи принятия решений, как правило, являются многокритериальными. Так, часто встречающееся выражение «достичь максимального эффекта при наименьших затратах» уже означает принятие решения при двух критериях. В задачах математического программирования с одним критерием, являющихся математическими моделями различных прикладных проблем  принятия решений, нужно определить значение целевой функции, соответствующее, например, минимальным затратам или максимальной прибыли. Однако, немного подумав и представив математическую модель несколько адекватнее рассматриваемой проблеме, мы практически в любой реальной ситуации обнаружим несколько целей, зачастую противоречащих друг другу. В детерминированной постановке задачи каждая из локальных целей выражается числовыми или булевыми значениями, которые для каждого вектора переменных задачи или для каждой рассматриваемой альтернативы принятия решений принимают вполне конкретные числовые значения.

      Приведем несколько примеров, иллюстрирующих, насколько широк диапазон проблем, которые могут быть адекватно сформулированы  как  многокритериальные,  и  какие технико-экономические  показатели могут быть  использованы в качестве таких критериев.

– В задачах планирования производства необходимо достичь: mах (прибыль, полученная предприятием в течение определенного промежутка времени);

min {минимальные затраты производства};

min {число невыполненных в директивные сроки заказов};

min {использование сверхурочного времени};

min {запасы незавершенного производства}.

– При разработке и вводе в производство новых изделий необходимо обеспечить:

mах {показатели технического уровня};

mах {показатели надежности в эксплуатации};

min {стоимость изделия};

min {время разработки и выхода на проектные производственные мощности};

min {стоимость разработки и технологической подготовки производства};

mах {уровень унификации деталей, узлов, комплектующих и используемых технологических процессов}.

– При планировании работы транспорта и перевозки грузов стремятся достичь:

min {стоимость перевозки};

min {среднее время доставки грузов приоритетным клиентам};

min {время выполнения плана доставки грузов};

min {количество заданий, не выполненных в установленные договором сроки};

min {расход топлива}.

― В задачах выбора портфеля ценных бумаг необходимо обеспечить:

mах {доход, полученный за счет как повышения курса ценных бумаг, так и выплаты дивидендов, что выражается математическим ожиданием величины полученной прибыли и величиной прибыли, получение которой гарантируется с заданной вероятностью};

min {риск, что выражается дисперсией величины прогнозируемой прибыли, вероятностью того, что величина потерь не будет превышать некоторой установленной величины};

mах {объем выплачиваемых дивидендов}.

– При организации строительства и ввода в эксплуатацию новых объектов стремятся достичь: min {стоимость строительства};

min {время строительства};

min {использование дорогостоящей техники, материальных и человеческих ресурсов}.

– При проведении экспертизы и принятия решений выбора и обеспечения финансирования наиболее эффективных иновационных проектов необходимо обеспечить:

mах {эффективности использования полученных в результате исследования результатов};

mах {научно-технический уровень исследований};

mах {вероятности получения положительных результатов разработки в соответствии с результатами предыдущих иссле-дований и уровнем квалификации научных кадров};

min {сроки разработки};

min {стоимость разработки}.

В решении личных проблем:

– при выборе альтернативного места работы мы стре-мимся:

mах {получаемое материальное вознаграждение (годовая заработная плата)};

min {ущерб, причиняемый здоровью};

min {время, занятое работой};     

       min {время поездок на работу и возвращения домой};

mах {шансы продвижения по служебной лестнице и повышения должностного оклада};

mах {благоприятный рабочий климат и условия работы};

– при покупке  или аренде жилого дома или квартиры мы стремимся обеспечить:

min {стоимость покупки и эксплуатации};

mах {площадь жилых, вспомогательных помещений и приусадебного участка};

mах {уровень комфорта и расположения жилых помещений для всех членов семьи};

min {средневзвешенного времени поездки на работу в учебные и дошкольные учреждения для всех членов семьи};

mах {характеристика инфраструктуры района (престиж-ность, криминалитет, наличие детских учреждений, торговых и развлекательных центров, ресторанов, клубов, кинотеатров, близость автомагистралей и т.п.); };

mах {характеристики экология района, в котором распо-ложен покупаемый дом (наличие вредных выбросов, шума, водоемов, парков, зеленой зоны и т.п. };

mах {эффективность вкладываемых средств, определяемая динамикой роста или снижения цен на недвижимость в этом районе};

– при покупке персонального автомобиля мы стремимся обеспечить:

mах {надежность в эксплуатации};

mах {уровень комфорта};

min {стоимость};

min {стоимость эксплуатации (расход бензина, стоимость ремонта, запчастей и т.п.)};

mах {уровень сервиса};

mах {мощность двигателя};

mах {площадь салона и  объем багажника}.

Перечень подобных примеров мог бы быть продолжен.

К проблемам многокритериального выбора могут быть отнесены:

– выбор наиболее эффективного решения из бесконечного множества возможных планов или среди конечного числа анализируемых альтернатив;

– ранжирование конечного числа возможных альтернатив (проектов, объектов, планов) по степени их эффективности. В качестве примера такого решения может быть приведен выбор  наиболее эффективных проектов из всего множества  проектов, представленных на экспертизу для финансирования, рассматриваемых в качестве претендентов на покупку или аренду помещений. Аналогичные задачи возникают при отборе по результатам тестирования из общего числа  претендентов ограниченного количества представителей  которым будут предоставлены рабочие места или возможность обучения;

– разбиение всего множества возможных решений (или конечного числа альтернативных решений) на равнозначные по степени эффективности группы. Примерами таких решений являются  отнесение изделия к  группе  качественных показателей 1-го, 2-го или 3-го сорта либо по назначению использования, а также на основании результатов тестирования разбиение всех абитуриентов на различные по уровню знаний или профессиональной подготовленности группы с целью их дальнейшего обучения или повышения квалификации.    

 В задачах многокритериальной оптимизации случаи, когда достигается оптимальное решение сразу по всем локальным критериям оптимальности, ― редкое исключение. Характерным же для этих задач является то, что альтернативы или допустимые решения с лучшими значениями одной группы критериев, как правило, приводят к ухудшению значений критериев другой группы.     

Для эффективного решения любой из данных задач необходимо в первую очередь построить многокритериальную математическую модель, которую затем нужно оптимизировать, предварительно выбрав наиболее подходящий для этого метод.

Ранее при решении многокритериальных задач все крите-рии, кроме одного, выбранного в качестве доминирующего,

принимались в качестве ограничений.     Оптимизация проводилась по доминирующему критерию в условиях сформулирован-ной системы ограничений. Такой подход к решению практических задач значительно снижает эффективность принимаемых решений.

        Многокритериальная задача отличается от обычной задачи оптимизации только наличием нескольких целевых функций вместо одной. Но это очень существенное концептуальное отличие, определяющее дополнительные трудности в решении проблемы:

– сравнение векторов значений целевых функций различных альтернатив (векторов управляющих переменных или состояния системы), принадлежащих допустимой области ограничений задачи ,  друг с другом;

– определение условий предпочтения одного вектора значений целевых функций перед другими в условиях, когда  в одной из этих альтернатив (в одном из таких векторов) значение одного подмножества критериев лучше, а в другой – лучше значения критериев другого из подмножеств целевых функций.

 Основная проблема в решении многокритериальных задач связана с выбором принципа оптимальности, который строго определяет свойства наиболее эффективного решения и отвечает на вопрос, в каком смысле это решение превосходит все остальные допустимые решения. В задачах однокритериальной оптимизации, у которых только один критерий оптимальности , и потому найденное оптимальное решение всегда объективно и не зависит от предпочтений лица, принимающего решение (ЛПР), или эксперта.  При выборе решений в условиях нескольких критериев имеется большое количество различных подходов и принципов оценки эффективности решений, и каждый из этих принципов может приводить к выбору различных соответствующих ему оптимальных решений. Поэтому проблема многокритериального выбора всегда субъективна, и полученное решение зависит от предпочтений ЛПР. Это объясняется тем, что приходится сравнивать векторы значений локальных целевых функций на основе некоторой выбранной заранее схемы компромисса (см., например, [1, 2, 24, 29]).

 Лицо,  принимающее решение (ЛПР), определяет метод измерения предпочтений для каждого  из критериев. Для этого,  как  правило, используются  различного вида числовые шкалы, либо значения лингвистических переменных (качественные оценки), на основе которых определяются  значения коэффициентов относительной  важности каждого из критериев  или строятся ранжировочные ряды (лексикографическое упорядочение по степени важности). Определяется вид комплексного критерия эффективности либо граничные значения каждого из локальных критериев эффективности и величина уступки по каждому критерию.  Такую уступку по сравнению с возможным оптимальным значением этого показателя можно разрешить в компромиссном решении .  На основе всех этих данных производится выбор наилучшей из всех допустимых, т.е. удовлетворяющих всем ограничениям задачи, альтернатив либо методами математического программирования находится вектор оптимизируемых переменных, удовлетворяющий всем этим условиям [15-18, 26, 28, 48, 58, 59, 73].

Введением определенного вида скалярного компромиссного критерия вектор значений различных целевых функций преобразуется в некоторое число. Формирование такого компромиссного критерия предусматривает введение весовых коэффициентов важности и предпочтений отдельных локальных критериев на основе мнений экспертов и лица, принимающего решение. ЛПР определяет также используемые при этом схемы компромисса. В математическом отношении эта проблема эквивалентна задаче упорядочения векторных множеств, а выбор принципа оптимальности – выбору отношения порядка.

Одним из наиболее распространенных методов решения многокритериальных задач является метод сведения много-критериальной задачи к однокритериальной путем свертывания векторного критерия в «суперкритерий». При этом каждый локальный критерий оптимальности учитывается с соответст-вующим важности его в принимаемом наиболее эффективном

решении весом. Сверткой компонент многоцелевого показателя называется  отображение,  которое   преобразует  совокупность компонент многоцелевого показателя, соответствующих локальным целевым функциям, в некоторый скалярный целевой показатель. Основными видами сверток являются линейные, минимизационные, максимизационные, произведения, а также функции специального вида.

Выбор той или иной схемы компромисса и выражения для свертки осуществляется  исходя из содержательной постановки задачи, используя информацию о предпочтениях критериев  и принимая во внимание дополнительные вычислительные трудности решения сформулированной компромиссной задачи.

Однако, как показывает опыт, если расcматривать эту проблему строго математически, не любую свертку можно использовать для решения конкретной многоэкстремальной задачи, так как при определенных видах свертки не гарантировано получение неулучшаемого компромиссного решения. Поэтому применение такого вида сверток в этих задачах является математически некорректным.

Другим подходом к решению многокритериальных задач является некоторое сужение области допустимых решений, наложив некоторые дополнительные (пороговые) ограничения на значения локальных критериев, допуская лишь определенные отклонения каждого из них от некоторых ранее установленных «идеальных» значений [28, 69, 72, 73, 81].

     Такие ограничения могут быть установлены априори на начальном этапе решения задачи, а также на основе лексикографического упорядочения критериев по степени их приоритета. При этом осуществляется последовательность решения однокритериальных задач с введением на каждом шаге дополнительных ограничений, предусматривающих отклонения локальных критериев более высокого уровня приоритета от их квазиоптимальных значений, рассчитанных на предыдущих шагах вычислительного процесса, не более чем на величину заданной априори уступки [2, 15, 28, 30, 48].

Выбор как вида и математического выражения обобщенной функции полезности (свертки), так и параметров этого выражения (весовых коэффициентов каждого из критериев), а также вектора «идеальных» значений целевых функций, упорядочение их по степени приоритетов и выбор величин уступок по каждому из критериев связаны с субъективизмом ЛПР.

Следует отметить, что при любом способе формализации, задача количественного обоснования решения по нескольким критериям оптимальности остается не до конца определенной, и окончательный выбор решения определяется волевым актом лица,  принимающего решение. Задача исследователя и группы экспертов – предоставить в распоряжение ЛПР необходимые расчеты,  позволяющие   ему  всесторонне оценить преимущества и недостатки каждого варианта решения и, опираясь на них, сделать окончательный выбор.

Проблемы многокритериальной оптимизации с вычисли-тельной точки зрения, как правило, также несколько сложнее задач с одной целевой функцией. Эти дополнительные трудно-сти связаны не только с отмеченными выше концептуальными и субъективными проблемами, но также и с тем, что  значения различных критериев выражаются в различных физических и экономических величинах и единицах измерения, отличаются диапазоном их возможных значений и поэтому требуют приведения их к безразмерному виду, т. е. нормализации. Часто возникают также серьезные математические проблемы, связанные не только со значительным увеличением объемов вычислений, но и с дополнительными вычислительными трудностями. В то множество подлежащих дальнейшему рассмотрению эффективных решений. При этом свойства доминирования используются в качестве фильтра для сокращения множества рассматриваемых альтернатив.

Интерактивные методы базируются на идее полезности информации, получаемой в процессе решения задачи. Многие из этих методов исходят из того, что существуют некоторая обобщенная функция полезности или идеальные значения компонент вектора  целевых функций задачи, которые априори неизвестны ЛПР, и информация о которых итеративно может быть получена в процессе решения задачи в результате вычислительных экспериментов. На основе полученной информации ЛПР имеет возможность в процессе решения задачи изменять уровень приоритета критериев, вид и (или) параметры (весовые коэффициенты) обобщенного критерия оптимальности (функции полезности), пороговые или граничные значения локальных целевых функций, схемы компромисса и даже алгоритмы решения задачи. Вычислительный процесс при этом продолжается до тех пор, пока, с точки зрения ЛПР, не получено наиболее эффективное компромиссное решение. В процессе решения задачи введением дополнительных ограничений область допустимых решений компромиссной задачи может все время сужаться, тем самым осуществляется приближение к искомому компромиссному решению изнутри.

Рассмотрению интерактивных методов посвящены работы Steuer и Whisman (1985), Steuer и Gardiner (1990) , Gardiner и  Steuer (1994), которые описаны в [48, 49, 51, О.И. Ларичева [11-13], А.П. Карпенко, В.Г. Федорук (2009) [26] и многие другие.

Общая схема этих методов заключается в следующем. Сначала задаются один или несколько вариантов схем компромисса, вида и контрольных параметров математической модели задачи, на основе которых выполняются одна или несколько итераций вычислений. Результаты полученных вычислений анализируются ЛПР. Если ЛПР оценивает полученные результаты хотя бы по одному из рассматриваемых вариантов как оп-тимальные, процесс решения на этом останавливается. В противном случае корректируется либо вид, либо параметры математической модели задачи, и процесс вычислений повторяется. Такой итеративный процесс продолжается до тех пор, пока не будет получен результат, удовлетворяющий ЛПР.

Классификация итеративных методов может вестись с точки зрения различных аспектов: по использованию математических моделей и алгоритмов, применяемых в неитеративных процедурах, по способам итеративного воздействия в процессе решения задачи (обучающиеся и необучающиеся методы), возможности вносить изменения в параметры математической модели в процессе вычислительного алгоритма до получения некоторого промежуточного законченного решения.

В процессе принятия решений с математической зрения рассматриваются следующие ситуации.

1. Допустимое множество переменных задачи   - множество в -мерной декартовой системе координат. Среди бесконечного множества допустимых решений (планов, векторов переменных ) необходимо найти наиболее эффективное, что может быть выполнено методами непрерывного математического программирования.

2. – вектор дискретных переменных, каждая из которых  , может принимать лишь некоторое множество дискретных значений  Общее количество решений, часть из которых принадлежит допустимой области  равно  Если  то перебрать все допустимые планы не представляется возможным, и задача многокритериальной оптимизации может быть решена методами дискретного математического программирования. Если значение  невелико, то выбор эффективного  решения  может  быть  осуществлен  на  основе  анализа и сравнения некоторого конечного числа альтернатив.

Согласно классификации многокритериальных проблем на

основе методов их решения, сделанной впервые Hwang, Yoon и

подробно описанной в [34, 48], могут быть выделены следующие два класса задач:

–  MADM (Multi Attribute Decision  Making);

–  MODM (Multi Objective Decision Making).

В задачах класса MADM выбор наиболее эффективного решения осуществляется из ограниченного конечного числа удовлетворяющих всем ограничениям задачи альтернатив, что допускает применение методов полного или направленного их перебора и анализа. При этом выполняются следующие этапы принятия решений:  упорядочение альтернатив и выделение среди них допустимых, выделение групп альтернатив (по классам решений: заслуживающие и не заслуживающие внимания), выделение наиболее эффективной из альтернатив.

Рассмотрению таких направленных на практическое применение методов и посвящено, в основном, описание методов решения прикладных задач данной книги.  

Другая важная проблема многокритериальной оптимизации связана с нормализацией векторного критерия эффективности F. Очень часто локальные критерии, являющиеся компонентами вектора эффективности, имеют различные масштабы измерения, что и затрудняет их сравнение. Поэтому приходится приводить критерии к единому масштабу измерения, т. е. их нормализовать.

      Следующая проблема связана с учетом приоритета (или различной степени важности) локальных критериев. Хотя при выборе решения и следует добиваться наивысшего качества по всем критериям, однако уровень качества по каждому из них, как правило, имеет различную значимость. Поэтому обычно для учета приоритета вводится вектор распределения важности критериев , с помощью которого корректируется принцип оптимальности или проводится дифферен-циация масштабов измерения критериев. Информация о предпочтениях может базироваться и измеряться  дискретно на основе некоторых установленных заранее числовых шкал уровня приоритета [20]. К сказанному выше можно добавить также трудности, связанные  с наличием в задаче многокритериальной оптимизации одновременно качественных и количественных критериев. Это требует для дальнейшей оптимизации построенной математической модели преобразования качественных показателей в количественные. Решение проблемы многокритериального выбора включает пять этапов, последовательность выполнения которых представлена на рис. В.1:

—  на этапе формирования оценок выбираются весовые коэффициенты и приоритеты отдельных критериев, величины допустимых уступок и отклонений в полученном решении от оптимальных решений по каждому из локальных критериев оптимальности;

— последний, заключительный, этап принятия решений состоит в выборе наилучшей (наиболее эффективной) из рассматриваемых альтернатив или поиске наиболее эффективного в определенном выше смысле решения из бесконечного множества возможных допустимых решений.

При решении многих технических и экономических задач мы всякий раз встречаемся с нестрогой математической поста-новкой задачи, нечеткими «размытыми» данными, что связано со следующими обстоятельствами:

— необходимостью прогнозов поведения системы в будущем;

— наличием ошибок в измерении основных параметров технологических процессов и получением значений факторов, определяющих экономическую ситуацию;

— нестрогим характером математических моделей, что связано с возможностью введения определенных допущений и упрощений, пренебрежением влияния определенных факторов, наличием неконтролируемых возмущений и т.п.; использованием ограничений и критериев эффективности, содержащих факторы элементы неопределенности, лингвистические понятия, некото-

рую размытость и нечеткость в своих требованиях и формулировках.

Рис. В.1. Этапы решения задач многокритериальной
оптимизации

Все это наиболее характерно при принятии решений, связанных с размещением инвестиций, многими стратегическими проблемами и планированием на перспективу.  Используемые в таких математических моделях количественные параметры (в особенности те, которые описывают поведение системы в будущем) могут быть заданы только их оценочными или качественными значениями. Это может привести к тому, что математические модели, описывающие задачу, достаточно грубо описывают реально решаемую проблему, что может привести к большим неточностям и неоднозначности выбора при принятии решений.

Отсутствие достаточных объемов статистических данных, невозможность на основе предыстории процессов достаточно хорошо и адекватно предсказать поведение системы в будущем, а также возникающие дополнительные сложности решения стохастических проблем (в особенности с вероятностными критериями и ограничениями) снижают практическую полезность и ценность получаемых решений. Кроме того, использование в математических моделях вместо не достаточно точно известных количественных  параметров или экспертных данных, либо средних значений и дисперсий при недостаточных объемах статистической выборки,   может привести к решению нереальной проблемы и получению недопустимого для реальной ситуации решения.

Методы многокритериального выбора могут быть успешно использованы при оценке, ранжировании и выборе наиболее эффективного из множества решений, показатели эффек-тивности которого описаны некоторой функцией распределения или нечеткими множествами, более правильно с точки зрения ЛПР, оценив математическое ожидание возможной прибыли и степень риска определенной величины потерь [22, 34, 49-56, 65, 70].   В связи с этим в различных приложениях  использовать не только численные методы обработки, но и осуществлять чисто качественную оценку ситуации на основе логических выводов, представляя полученные количественные значения переменных в качестве некоторых лингвистических параметров. К преимуществам такого подхода применительно к решению сложных и трудно формализуемых проблем можно отнести возможность использования эвристики, опыта эксперта, интуиции лица, принимающего решение.

При описании условий задачи на чисто качественном, лингвистическом уровне применение таких методов более естественно. Методы Fuzzy-логики позволяют реализовать такие подходы наиболее эффективно в тех случаях, когда математической модели сформулированной задачи не существует либо она является настолько сложной, что использование ее в рамках реального времени не представляется возможным.

Использование Fuzzy-технологий в принятии многокритериальных решений в условиях неопределенности, размытости условий задачи зачастую позволяет представить более адекватную, чем в стохастических методах, картину реальной проблемы и получить допустимое и более эффективное решение [34, 35, 57, 66-68].

Задачи многокритериальной оптимизации естественным способом интерпретируется в терминах нечеткой логики (Fuzzy-логики) в случаях, когда значения целевых функций и

(или) отдельные ограничения в каждой из альтернатив заданы логическими термами. Они могут быть описаны на уровне чисто качественных понятий либо не являются строго определенными, либо такие ограничения могут до некоторых установленных пределов нарушаться, оказывая тем самым отрицательное влияние на общий показатель эффективности принимаемого решения.

В различных приложениях является целесообразным использовать не только численные методы обработки, но и осуществлять чисто качественную оценку ситуации на основе логических выводов, представляя полученные количественные значения переменных в качестве некоторых лингвистических термов. При описании условий задачи на чисто качественном, лингвистическом уровне применение  методов нечеткой логики является более естественным и позволяет наиболее эффективное решение в условиях риска [22, 23, 68, 71]. К преимуществам этих методов следует отнести также возможность в условиях, когда мнения экспертов при оценке конкретной ситуации несколько расходятся, отделить главное от второстепенного и, упростив ситуацию, осуществить четкий выбор решения, определив количественные значения управляющих воздействий и выходных параметров. 

        Большое внимание в книге уделяется постановке, математической формулировке и решению прикладных задач много-

критериального выбора, встречающихся в повседневной жизни читателя. В качестве примеров таких проблем могут быть названы:   покупка или аренда жилого дома или квартиры, выбор места работы, оценки качества и конкурентоспособности покупаемых товаров или видов оказываемых услуг, прогнозирование курсов ценных бумаг и др.  Большое количество таких задач приходится решать  и в сфере производства, логистики, управления, оценки степени финансовых, производственных и экологических рисков, прогнозирования финансовых индикаторов, перспективности  формирования инвестиционных портфелей и выбора наиболее эффективных для финансирования среди представленных на экспертизу проектов, при оценке  по результатам тестирования уровня квалификации абитуриентов и претендентов на вакантное место работы или учебы, правильное формирование творческих и трудовых коллективов, выбора фирмы для осуществления сервисного и технического обслуживания и др.

    Предлагаемая вашему вниманию книга является более полным изложением методов решения и практических приложений методов принятия многокритериальных решений, изложенных в монографиях автора [34, 35]. В дополнение к предыдущему изданию в данной книге более полно изложены методы решения задач векторной оптимизации (методов MODM), а также задач в условиях размытых данных и данных, представленных лингвистическими термами, существенно расширен круг рассматриваемых приложений.  

     Книга рассчитана на читателя, прослушавшего курс высшей математики в объеме экономических и технических высших учебных заведений. Формальная и строгая форма изложения математических методов решения задач многокритериальной оптимизации сопровождается доступным и наглядным концептуальным пояснением основных используемых предпосылок и идей, геометрической интерпретацией полученных результатов и иллюстрирующих их числовыми примерами.

Читателю предоставляется несколько возможностей чтения книги. Первая – чтение всех глав с подробным изучением всех  

математических моделей, предлагаемых методов и доказательством утверждений. Вторая – ознакомление с основными мате-

матическими моделями, с алгоритмами принятия  решений  из множества возможных альтернатив (методы MADM), пропуская все доказательства и методы решения задач векторной оптимизации алгоритмами математического программирования, и акцентирование внимания на интересующих его приложениях. Третья возможность – изучение только общих идей решения проблем многокритериального выбора и интересующих его приложений.

     Книга  состоит из 15 глав, разбитых на 2 части. В 1-й части (8 глав) описаны математические модели и методы решения задач многокритериальной оптимизации в детерминированной, стохастической и нечеткой постановке.  Во 2-й части, включающей 7 глав, приводятся постановки и методы решения различных прикладных задач многокритериального выбора и оптимизации. Принята двойная нумерация разделов, формул и рисунков. Первая цифра указывает номер главы, а вторая – порядковый номер этого раздела, формулы или рисунка в данной главе. 

Эта книга будет полезна всем тем, кто в своей производственной деятельности и  повседневной  жизни сталкивается  с принятием решений: менеджерам высшего и среднего звена на производстве и в сфере обслуживания, экономистам, финансовым аналитикам,  инженерам-конструкторам и проектировщи-кам, индивидуальным предпринимателям, специалистам по маркетингу, строительству и логистике.   Книга представляет также интерес для специалистов в области прикладной математики, работающим в области исследования операций, оптимизации, применения математических методов в экономике,  и может быть использована студентами и аспирантами соответ-ствующих специальностей в качестве учебного пособия в экономических и технических вузах при изучении соответствующих курсов.

           Введение................................................................................. 9

Часть 1.
Математические модели и методы решения задач
 многокритериальной  оптимизации
Глава 1 Свойства задач векторной  оптимизации.............. 27

       1.1. Постановка задачи................................................. 27

       1.2. Свойства области  допустимых решений задачи 28

       1.3. MCDM-, MCDA-, MАDM- и  MОDM-методы....... 31

Глава 2. Математические модели и методы построения 

эффективных компромиссных решений....................... 40

       2.1. Mетоды свертки критериев.................................... 41

       2.2. Методы учета приоритета локальных критериев
       (лексикографические подходы)............................. 49

       2.3. «Компромиссное программирование» (минимиза-
       ция отклонений от локальных  оптимальных
       решений)................................................................. 52

 Глава 3. Методы нормировки локальных критериев......... 61

       3.1. Алгоритмы нормировки в методах MADM (выбор
       решения из конечного множества альтернатив)... 61

       3.2. Методы нормировки MODM................................. 76

Глава 4. Весовые коэффициенты значимости локальных 

критериев....................................................................... 78

       4.1. Отсутствие количественной и качественной инфор-
       мации о приоритете локальных критериев........... 79

       4.2. Учет  количественной и качественной информа-

        ции,  получаемой от экспертов,  о приоритете 
        локальных критериев............................................ 82

Глава 5. Принятие решений при выборе из конечного 

множества альтернатив................................................. 93

       5.1. Концепты эффективности...................................... 93

       5.2. Метод ELECTRE ................................................. 101

       5.3. Метод PROMETHEE............................................ 112

       5.4. Введение комплексного компромиссного крите-

              рия эффективности............................................... 118

       5.5. Принятие компромиссных решений на основе
       ве качественных оценок значений локальных
       критериев в каждой из альтернатив..................... 120

       5.6. Принятие коллективных компромиссных
       решений................................................................ 131

       5.7. Сужение множества Парето на основе методов
       нечеткой логики.................................................... 136

       5.8. Информационное обеспечение алгоритмов реше-
       ния  задач многокритериальной оптимизации.... 144

       5.9. Многокритериальное ранжирование................... 145

Глава 6. Алгоритмы решения MODM проблем............... 153

       6.1. Постановки задачи. Основные определения
       и схемы компромисса.......................................... 153

       6.2. Интерактивные методы получения компромисс-
       сных решений....................................................... 169

Глава 7. Методы решения многоэкстремальных задач 

векторной оптимизации. Многоэкстремальные
проблемы МОДМ........................................................ 180

       7.1. Квазимонотонные функции................................. 181

       7.2. Сепарабельно квазимонотонные функции в силь-
       ном смысле........................................................... 184

       7.3. Выделение областей, не содержащих допустимых 

       планов................................................................... 192

       7.4. Исключение областей, не содержащих оптималь-
       ных решений......................................................... 201

       7.5. Алгоритмы решения многоэкстремальных
       задач...................................................................... 205

       7.6. Модификации  глобального статистического

              поиска  в условиях ограничений......................... 211

Глава 8. Стохастические и нечеткие критерии. 

Многокритериальные  оценки показателей
эффективности............................................................. 211

       8.1. Многокритериальная оценка показателя

              эффективности,  представленного функцией

              распределения случайной величины.................. 216

       8.2. Критерии и методы определения предпочтений

              сравнения и  ранжирования Fuzzy-множеств..... 219

       8.3. Многокритериальные методы сравнения и

              ранжирования Fuzzy-множеств .......................... 227

       8.4. Множество Парето для стохастических

              критериев оптимальности................................... 232

       8.5. Размытые множества Парето.............................. 236

Глава 9. Fuzzy-технологии в решении задач многокрите-

риальной оптимизации................................................ 244

        9.1. Постановка и математическая формулировка

               задачи.................................................................. 244

        9.2. Методы решения задач многокритериальной

               оптимизации........................................................ 250

        9.3. Иллюстративный пример .................................. 258

                                   Часть 2.

Прикладные задачи многокритериального выбора

Глава 10. Принятие многокритериальных в  повседневной

жизни и в жизненно важных ситуациях...................... 264

        10.1. Выбор места работы из конечного множества

                 полученных предложений................................ 264

        10.2. Принятие решений при покупке или аренде
          дома и квартиры................................................ 268

        10.3. Выбор наиболее приемлемого места летнего

                 отдыха............................................................... 276

        10.4. Выбор частного лечебного учреждения ......... 283

Глава 11. Оценка качества и конкурентоспособности 

товаров на внешнем и внутреннем рынках................ 299

        11.1. Группы показателей качества и конкуренто-

                 способности товаров и услуг........................... 299

        11.2. Комплексные критерии качества и конкрен-

                 тоспособности товаров и изделий................... 302

        11.3. Методы ранжирования качества товаров,

                 разбиения их на группы в зависимости от обла-

                 сти  применения, определения перспективности

                 их реализации на рынке.................................... 309

        11.4. Конкурентоспособность и покупательная

                 способности изделий на внешнем и внутреннем

                 рынках............................................................... 312

        11.5. Оценка конкурентоспособности методом

                 сравнения отдельных показателей с  качеством

                 продуктов рыночных лидеров.......................... 317

        11.6. Многокритериальное ранжирование качества

                  и конкурентоспособности  товаров на основе

                  методов нечеткой логики................................ 319

Глава 12. Оперативное планирование сложных произ-водственных комплексов          324

       12.1. Постановка и математическая  модель

                задачи................................................................. 324

       12.2. Математические модели построения               

                компромиссных планов..................................... 332

Глава 13. Многокритериальные задачи теории 

расписаний................................................................... 337

       13.1. Критерии оптимальности и ограничения......... 338

       13.2. Расписания выполнения работ на параллель-
         ных машинах...................................................... 342

       13.3. Алгоритмы решения задачи.............................. 350

Глава 14. Оценке качества и перспективности иннова-

ционных проектов....................................................... 361

       14.1. Постановка задачи............................................. 361

       14.2. Детерминированные оценки комплексного

                показателя эффективности проектов................ 368

       14.3. Стохастические оценки качества проекта........ 372

       14.4. Задача оптимального подбора экспертов......... 377

Глава 15. Формирование творческих коллективов.......... 381

       15.1. Обработка результатов тестирования квалифи-

                кации и знаний специалистов и абитуриентов. 381

       15.2. Формирование эффективно работающего

                творческого коллектива..................................... 400

Глава 16. Эффективное распределение инвестиций........ 408

       16.1. Постановка и математическая формулировка

                задачи................................................................. 408

       16.2. Выбор наиболее эффективного решения

                из конечного множества альтернатив............... 419

        16.3. Выбор оптимального портфеля инвести-

                 ций в условиях системы вероятностных

                ограничений в задачах MODM.......................... 429

       16.4. Выбор оптимального портфеля инвестиций 

                 в условиях  нечеткого вероятностного

                 распределения................................................... 439

Литература......................................................................... 450